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第二章 思想史中的数学要素（第2页）

我想说明的一个观点是：在数学的抽象领域占据优势地位的函数观念，反映在自然秩序中便是以数学表达出来的自然规律。要是没有数学这种进步，17世纪科学的发展将不可能。数学给科学家观察自然提供了想象思维的背景。伽利略、笛卡尔、惠更斯（Huygens）、牛顿等人都创造了很多的公式。

假如要找一个有关数学的抽象发展对当时科学的影响的特例，可以考虑下周期性这个概念。在我们日常的经验中，事物普遍都有明显的重复现象。日复一日、月圆月缺、四季轮回、周而复始、心跳和呼吸循环往复；在每个方面，我们都能碰到重复现象。假如没有重复，知识也不可能产生，因为在这种情况下就没有任何事物能和我们过去的经验发生联系。同时，没有规律性的重复现象，度量也变得不可能。根据我们的经验，当我们获得精确的观念时，重复是其基础。

在十六七世纪，周期性理论在科学中处于基础地位。开普勒发现了一条法则，这条法则将行星轨道的长轴与各行星沿着自身轨道运行的周期联系起来；伽利略观察了钟摆的振动周期；牛顿解释了作为“存有”的声音是由疏密相间的周期性波动穿过空气时发生的扰动所形成的；惠更斯认为光是精细的以太的横的振动波形成的；梅赛纳（Mersenne）则将小提琴弦的振动周期与它的密度、张力和长度联系起来。现代物理学的诞生有赖于周期性抽象观念在许多具体事例上的应用，但是除非数学家已经将围绕在周期性概念周围的抽象观念推演出来，否则这是不可能的。三角学兴起于研究直角三角形中两锐角比率间关系。随后，在新发现的数学科学中的函数分析的影响下，扩大为对体现这种比率的纯粹抽象的周期函数的研究。因此，三角学完全成为抽象的了，正因为它变得抽象了，它也变得有用处了。它阐明了完全不同的物理现象中所潜在的类似之处。同时，它还提供了武器，使得任何一套物理现象都能对其自身的各种特性加以分析，然后相互联系起来。[3]

没有什么比这样一个事实更加让人印象深刻了：当数学朝向更为极端的抽象思维的高端领域上升，它回到现实的时候对具体事实的分析就相应更为重要。17世纪的历史读起来犹如柏拉图和毕达哥拉斯生动的梦，从这个特征来看，17世纪仅仅是后继者们的先驱而已。

最高的抽象是控制我们思考具体事实的真正武器。这一矛盾的观点现如今已完全确立起来了。17世纪数学家盛极一时的后果是，18世纪是数学思维的世纪，在法国影响力占据优势的地区尤其如此，英国洛克所倡导的经验主义算是一个例外。在法国之外的地区，牛顿对于哲学的直接影响最佳的见证者就是康德（Kant），而不是休谟。

在19世纪，数学的普遍影响逐渐式微。文学上的浪漫主义和哲学上的理想主义都不是数学思维的产物。同时，甚至在科学领域中，地质学、动物学和生物科学的发展一般来说也与数学完全无关。这个世纪最为令人兴奋的科学事件就是达尔文的进化论。因此，就这个时代一般的思想而言，数学退居到幕后了。但是这并不意味着数学被忽视了，甚至也不能说它毫无影响力了。19世纪纯数学取得的进步几乎相当于毕达哥拉斯以来所有成绩的总和。当然进步是容易的，因为技术已经日臻完善。然而即便如此，1800年至1900年这段时间里数学的变法仍然是相当显著的。如果我们再往前推100年，将当今之前的200年都算上，我们就会忍不住认为数学奠定基础的时间是在17世纪的最后25年。发现数学要素的时间段从毕达哥拉斯时期到延伸到笛卡尔、牛顿和莱布尼茨时代，发展成熟的科学则是最近250年左右出现的。这并不意味着是要夸耀近代世界中的超级天才，因为发现要素比发展科学要困难得多。

整个19世纪，数学的影响力作用于动力学和物理学，然后推及至工程学和化学。通过将这些科学作为媒介，数学间接影响了人类生活，而这是难以估量的。但是数学并没有对当时的一般思想产生直接的影响。

通过简要回顾数学在欧洲历史上的影响，我们发现数学曾有两个伟大时段对一般思想产生了直接影响，每个时段都各自持续了大概两百年。第一阶段是从毕达哥拉斯到柏拉图，当时创立数学的可能性和数学的一般特性首次出现在希腊思想家心中。第二阶段包括了现代时期的17世纪和18世纪。这两个时段具有一些共同的特点：在第一、二阶段中，在与人类利益攸关的许多领域，普遍思想范畴处于瓦解状态。在毕达哥拉斯时期，让人觉察不到的异教信仰凭借它漂亮的仪式和魔术的法式的传统外衣，在两方面的影响下进入到一个新的阶段。一方面，宗教热情的浪潮，寻求对于神秘深处事物的直接启示；另一方面，在相反的另一极，已经觉醒的批判分析思想，以冷静客观的态度探究事物的终极意义。虽然这两种影响的结果迥异，但却都具备一个共同要素：一股被唤醒的好奇心和一场旨在重建传统方式的运动。这种异教徒的神秘效果堪比清教徒和天主教徒的反对作用。批判的科学价值在两个时代都是相似的，尽管在实际重要性方面略有区别。

每一个时段在早期都是充满欣欣的繁荣和新的机遇的。在这个方面，它们与二三世纪基督教征服罗马世界的衰落时代不同。只有在一个幸运的时代里面，一方面能从环境的直接压力中解脱出来，另一方面又具有强烈的好奇心，时代精神才能对那些最终抽象概念进行任意的直接修正。那些最终的抽象观念隐藏在更为具体的概念后面，我们时代的严肃思想都是从这些概念开始发展起来的。这件事只能在极少的时代里完成，从而使得数学与哲学发生了关联。因为数学是人类心智所能达到的最为完整的抽象概念。

这两个时段的相似之处不能被过分强调。近代世界要远比地中海沿岸的古代文明世界，甚至是遣送哥伦布和清教徒前辈移民度过大西洋时的欧洲更大更复杂。我们不能用一些盛行而又将会被束之高阁上千年的简单公式来解释我们这个时代。因此，从卢梭（Rousseau）以来，数学思维的短暂沉寂看上去已经走到尽头。我们正在进入一个宗教、科学和政治思想的重建时代。这样一个时代里，如果有意避免只是无知地在极端之间摇摆的话，一定得寻求终极最深的真理。但除非有一种哲学来充分说明那些终极抽象概念，且以数学来说明这些抽象概念之间的关系，否则这种深刻的真理是无法洞察的。

为了确切说明数学是如何在当前获得普遍重要性的，我们不妨从一个特殊的科学困惑出发，去看看在试图解决这些困难时，我们自然地被引导到哪种观念上去。当前，物理学正在为量子论而犯难。如果有人还不熟悉这个理论是什么，我在此暂不做过多解释。[4]我所要指出的是，这些解释中最有希望的一个是假设电子不是连续穿过其在空间中的路径；另一个观念认为，电子存在的方式是它出现在空间中一系列离散位置上。在这些位置上它占据一段连续的持续的时间。这就好像一部汽车，以平均每小时30里的速度沿着一条道路前行，但它并不是连续地通过这条道路，而是依次在一系列的里程碑那里出现，并在每座里程碑那里停留两分钟。

首先，我们需纯技术地运用数学，看看这个概念是否真正能解释量子论许多令人困惑的性质。如果这种观念经得起这场考验，毫无疑问物理学就会采用它。总而言之，这问题纯粹是要数学与物理学之间根据数学计算和物理学观察来解决的。

但是，目前一个问题摆在了哲学家面前。电子在空间中是一种不连续的存在，这和我们习惯地假定事物显然连续存在很不相同。电子似乎从西藏的圣人那里借了功力过来，电子加上与其相关的质子，就成为日常经验中物体的基本实有。因此，如果这个解释被接受了，我们必须修正所有关于物质存在的终极特性的观念。因为当我们深入到这些终极实有时，令人惊讶的空间存在的不连续性就显现出来了。

解释这个矛盾现象并不困难，只要我们同意将那些目前已被大家所接受的关于声和光的相同原则运用于表面稳定而无差别的事物的持续状态上就可以了。一个稳定持续的音符被解释为是空气振动的结果，一个稳定的颜色被解释为以太振动的结果。如果我们用相同的原则解释事物稳定而又持续的状态，我们就应该设想：每一个最初要素都是潜在能量或者潜在活动的振动起伏。假设我们坚持物理学上能量的观念，那么每一种最初要素都将会是一个有组织的振动的能量流系统，因此，每一个要素都将具有一个确切的周期，在这个周期内，这个能量流系统将会从一个静止的极点摆动到另一个静止的极点。以海洋潮汐为例，能量流系统将会从一个**时期摆动到另一个**时期，这个组成最初要素的系统，在某个瞬间看来是不存在的，它需要整个周期才能展现出来。同理，一个音符在瞬间也是不能成为音符的，而需要整个周期才能展现出来。

因此，如果问最初要素在哪里，我们就必须取它的平均位置，即每个周期的中间。如果我们将时间分割成更小的要素，作为电子实有的振动系统将不复存在。这样一个振动实有在空间中的轨迹——振动组成实有的地方——必须被描绘成空间中一系列离散位置，如同汽车出现在一系列里程碑那里，而不是出现在两个里程碑之间一样。

首先，我们必须要问的是，是否有任何证据表明量子论和振动说存在联系。这个问题可以立即得到肯定的回答：整个量子理论都是围绕着原子的辐射能来研究的，并且直接与辐射波系统的周期相联系。因此，看上去振动存在的假设是最可能解释轨道不连续这一困惑的了。

其次，一个新的问题摆在了哲学家和物理学家面前，如果我们采用了上述假设，认为事物的终极要素本质上存在于它们的振动性之中。也就是我所说的，除了周期性的系统之外，并没有所谓要素的存在。在这一假设之下我们必须得问，组成振动系统的成分是什么呢？我们已经抛弃了无差别的持续状态的物质。除了形而上的强制要求之外，我们并没有理由去提出另一种更为精微的物质去取代我们已经解释过了的这种物质。现在这个领域已经为引入一种新的机体论以取代唯物论打开了大门，17世纪以降，科学就将唯物论像装马鞍一样套在了哲学身上。值得铭记的是，物理学家所谓的“能量”显然只是一个抽象概念。具体的事实是，机体必然是真实显相特性的完整表达。将科学的唯物论替换下来，如果这曾经发生过，一定对思想的每个领域都产生了重要影响。

最后，我们最后的回应必然是，最终我们回到了老毕达哥拉斯的一个说法上来，数学和数学物理都是从他那里开始崛起的。他发现了研究抽样概念的重要性，尤其是引导人们注意到数字能刻画音符的周期性这一特质。因此，周期性这一抽象观念在数学和欧洲哲学发展的最早期就已经存在了。

17世纪时，近代科学的诞生要求一种新的数学，具备完备的手段去分析振动存在这一性质。在20世纪，我们发现物理学家大多从事于分析原子的周期性工作。诚然，毕达哥拉斯在建立欧洲哲学和欧洲数学时，就赋予了它们这一最为深刻的幸运推测——这或许是神性天才的闪光，洞察到最深的事物本质上去了。

[1]即勾股定理。——译注

[2]《亚他那修信经》与《使徒信经》、《尼西亚信经》、《迦克墩信经》并称为基督信仰四大信经，此信经是第一个阐述三位一体教义的信经。——译注

[3]关于自然和纯数学函数的更详细的研究，请参看我的著作《数学导论》（AnIntroduatics）。

[4]参见本书第八章。